Matriisilaskuri on yksi algebran haaroista. Matriiseilla on tärkeä käyttö jokapäiväisessä elämässä, erityisesti laskennassa. Teoreettisella tasolla niitä käytetään myös paljon kvanttimekaniikassa, mutta myös lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa … Matriisi on itse asiassa käytännöllinen taulukko, jossa on rivejä ja sarakkeita, joista jokainen on kertoimena. Matriisin käänteisarvo on jonkin verran samanlainen kuin luvun käänteisluku.
Askeleet
Tapa 1/2: Etsi järjestyksen 2 neliömatriisin käänteisluku
Vaihe 1. Tarkista ensin, että muotti on neliömäinen
Käänteismatriisin löytämiseksi tarvitaan useita ehtoja, joista ensimmäinen on, että lähtömatriisi on neliö, jossa on niin monta riviä kuin on sarakkeita.
Vaihe 2. Tarkista, että se on järjestyksessä 2
Jos siinä on 2 riviä ja 2 saraketta, sen sanotaan olevan järjestyksessä 2: siirry seuraavaan vaiheeseen. Jos se on neliö, mutta korkeampi (3, 4, 5, 6…), siirry suoraan toiseen menetelmään.
Vaihe 3. Laske matriisin determinantti
Tämä on yksi perusvaiheista tietää, voidaanko matriisi kääntää. Se on perinteisesti merkitty kahdella tavalla: | A | { displaystyle | A |}
ou det(A){displaystyle det(A)}
. Si A=(abcd){displaystyle A={begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
, alors det(A)=ad−bc{displaystyle det(A)=ad-bc}
Vaihe 4. Katso determinanttia
Jos determinantti on nolla, käänteistä matriisia ei ole ja harjoitus päättyy siihen. Kaikissa muissa tapauksissa on käänteinen matriisi.
Vaihe 5. Etsi A { displaystyle A}: n komatriisin transponointi
Il s'agit d'une matrice de même ordre que A{displaystyle A}
, notée tcom(A){displaystyle ^{t}com(A)}
, dans laquelle les coefficients a{displaystyle a}
et d{displaystyle d}
ont été intervertis, et les coefficients b{displaystyle b}
et c{displaystyle c}
restent à leur place et voient leurs signes inversés. Dans notre exemple, tcom(A)=(d−b−ca){displaystyle ^{t}com(A)={begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}
Vaihe 6. Opi käänteismatriisikaava
Anna matriisin A = (abcd) { displaystyle A = { begin {pmatrix} a & b \ c & d \ end {pmatrix}}}
, l'inverse, notée A−1{displaystyle A^{-1}}
s'obtient grâce à la formule suivante:
A−1=1det(A)(tcom(A))=1ad−bc(d−b−ca)=(dad−bc−bad−bc−cad−bcaad−bc){displaystyle A^{-1}={frac {1}{det(A)}}(^{t}com(A))={frac {1}{ad-bc}}{begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}{frac {d}{ad-bc}}&{frac {-b}{ad-bc}}\\{frac {-c}{ad-bc}}&{frac {a}{ad-bc}}\end{pmatrix}}}
Vaihe 7. Tee digitaalinen sovellus
Kun neliömatriisi on järjestys 2, käänteinen on helppo määrittää: käännät { displaystyle a}
et d{displaystyle d}
, vous inversez les signes de b{displaystyle b}
et c{displaystyle c}
sans les changer de place, et vous divisez tous les coefficients obtenus par le déterminant.
- Avec la matrice A=(4332){displaystyle A={begin{pmatrix}4&3\\3&2\end{pmatrix}}}
, le déterminant est:
det(A)=(4)(2)−(3)(3)=8−9=−1{displaystyle det(A)=(4)(2)-(3)(3)=8-9=-1}
et la transposée de la matrice, tcom(A)=(2−3−34){displaystyle ^{t}com(A)={begin{pmatrix}2&-3\\-3&4\end{pmatrix}}}
. La matrice inverse est donc:
A−1=1−1(2−3−34)=−1(2−3−34)=(−233−4){displaystyle A^{-1}={frac {1}{-1}}{begin{pmatrix}2&-3\\-3&4\end{pmatrix}}=-1{begin{pmatrix}2&-3\\-3&4\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-2&3\\3&-4\end{pmatrix}}}
Méthode 2 sur 2: Trouver l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n
Vaihe 1. Tarkista ensin, että muotti on neliömäinen
Käänteismatriisin löytämiseksi tarvitaan useita ehtoja, joista ensimmäinen on, että lähtömatriisi on neliö, jossa on niin monta riviä kuin on sarakkeita.
Vaihe 2. Tarkista neliömatriisin järjestys
Jos matriisissasi on n riviä ja n saraketta (n> 2), siirry seuraavaan vaiheeseen. Jos se on neliömäinen ja järjestyksessä 2, palaa ensimmäiseen menetelmään.
- Tarkastellaan matriisia A = (123231312) { displaystyle A = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 1 \ 3 & 1 & 2 \ end {pmatrix}}}
. Elle est carrée et d'ordre 3, car elle a trois lignes et trois colonnes.
Étape 3. Calculez tous les cofacteurs de la matrice
Le cofacteur, Aij{displaystyle A_{ij}}
d'une matrice A{displaystyle A}
(i lignes et j colonnes) est défini par la formule: Aij=(−1)i+jMij{displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}
, Mij{displaystyle M_{ij}}
étant le déterminant (ou le mineur) de la matrice obtenue en éliminant la ie rangée et la je colonne de A{displaystyle A}
-
Dans notre exemple, les cofacteurs sont les suivants:
A11=5, A12=−1, A13=−7, A21=−1, A22=−7, A23=5{displaystyle A_{11}=5, A_{12}=-1, A_{13}=-7, A_{21}=-1, A_{22}=-7, A_{23}=5}
A31=−7, A32=5, A33=−1{displaystyle A_{31}=-7, A_{32}=5, A_{33}=-1}
Étape 4. Calculez le déterminant de la matrice
Il est noté conventionnellement |A|{displaystyle |A|}
ou det(A){displaystyle det(A)}
. À partir d'une ligne ou d'une colonne (qui contient de préférence le plus de 0), faites une expansion des cofacteurs le long de cette dernière, soit la somme des produits des coefficients par leurs cofacteurs respectifs. La formule est la suivante: det(A)=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin{displaystyle det(A)=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+{text{…}}+a_{in}A_{in}}
- Dans notre exemple, faites une expansion le long de la première ligne. Le déterminant se calcule ainsi: det(A)=a11A11+a12A12+a13A13{displaystyle det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}}
. Le calcul est le suivant: det(A)=(1)(5)+(2)(−1)+(3)(−7)=−18{displaystyle det(A)=(1)(5)+(2)(-1)+(3)(-7)=-18}
Étape 5. Intéressez-vous à la valeur du déterminant
Si le déterminant est nul, il n'existe pas de matrice inverse. Dans tous les autres cas, la matrice inverse peut être établie.
Dans notre exemple, le déterminant est non nul, puisqu'il est de -18
Vaihe 6. Rakenna comatrix
Se on itse asiassa matriisi, joka sisältää oikeassa järjestyksessä kaikki aiemmin laskamasi kofaktorit.
- Esimerkissämme comatrice (com (A) { displaystyle com (A)}
) est la suivante:
com(A)=(5−1−7−1−75−75−1){displaystyle com(A)={begin{pmatrix}5&-1&-7\\-1&-7&5\\-7&5&-1\end{pmatrix}}}
Vaihe 7. Transponoi comatrixin rivit ja sarakkeet
Mitä tulee järjestyksen 2 neliömatriisiin, on välttämätöntä määrittää toverin transponointi kääntämällä rivit ja sarakkeet.
-
Esimerkissämme comatrixin transponointi on seuraava:
tcom (A) = (5−1−7−1−75−75−1) { displaystyle ^ {t} com (A) = { begin {pmatrix} 5 & -1 & -7 \ -1 & -7 & 5 \ \ -7 & 5 & -1 \ end {pmatrix}}}
. vous noterez que:
tcom(a)=com(a){displaystyle ^{t}com(a)=com(a)}
, mais ce n'est pas toujours le cas.
étape 8. divisez la transposée de la comatrice par le déterminant
vous devez multiplier chaque coefficient de la transposée de la comatrice par l'inverse du déterminant, ce qui revient à les diviser par ce même déterminant. cela fait, vous obtenez votre matrice inverse.
-
avec notre cas concret, pour obtenir la matrice inverse, vous devez faire:
a−1=1det(a)(tcom(a))=1−18(5−1−7−1−75−75−1){displaystyle a^{-1}={frac {1}{det(a)}}(^{t}com(a))={frac {1}{-18}}{begin{pmatrix}5&-1&-7\\-1&-7&5\\-7&5&-1\end{pmatrix}}}
a−1=(−518118718118718−518718−518118){displaystyle a^{-1}={begin{pmatrix}-{frac {5}{18}}&{frac {1}{18}}&{frac {7}{18}}\\{frac {1}{18}}&{frac {7}{18}}&-{frac {5}{18}}\\{frac {7}{18}}&-{frac {5}{18}}&{frac {1}{18}}\end{pmatrix}}}
conseils
- la matrice identité de rang n (in{displaystyle i_{n}}
- n'oubliez jamais qu'une matrice (2, 2) n'a d'inverse que si, et seulement si, son déterminant est non nul.
- si vous faites le produit de la matrice par son inverse (a×a−1{displaystyle a\times a^{-1}}
) ne contient que des 0, sauf la diagonale principale (qui débute en haut et à gauche) qui ne contient que des 1.
), vous obtenez la matrice identité (in{displaystyle i_{n}}
).